Fondamenti della meccanica atomica
Conviene considerare kx,ky, kz come componenti di un vettore k (vettore di propagazione) che rappresenta col suo modulo k il numero d'onde 1/λe colla
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(1) È utile rilevare fin da ora che nel caso delle onde elettromagnetiche questo vettore è strettamente legato all'impulso p dei fotoni (v. § 3
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Analogamente alla (61), si può introdurre un vettore di propagazione medio definito da:
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Mediante lo sviluppo di Fourier un pacchetto d'onde si può considerare ottenuto sovrapponendo infiniti treni d'onde monocromatici, di diverso vettore
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infiniti treni d'onde monocromatiche di diverso vettore di propagazione k, secondo la formula di decomposizione (79) del cap. I: per il principio di
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Il vettore soddisfa le equazioni
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Per rendere l'analogia più evidente anche formalmente, conviene rappresentare il campo elettromagnetico con l'unico vettore complesso ,definito da
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l'unico vettore complesso ,definito da Si vede subito allora che l'espressione di W diviene . Il vettore soddisfa le equazioni (che compendiano le
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Se si tratta di particelle con una carica elettrica e, il vettore rappresenta ovviamente il valor medio della densità di corrente elettrica.
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Conviene (come al § 15), introdurre il vettore k di componenti (e quindi di modulo k) ed il vettore r avente l'origine nell'origine degli assi e
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Questa formula coincide con la (78') del § 15: come si è visto, essa rappresenta un treno d'onde piane avente per «vettore di propagazione» k, quindi
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Ora sulle pareti deve essere per qualunque t: ciò porta ad una limitazione dell'arbitrarietà del vettore di propagazione k. Difatti, supponiamo che
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Se poi si rappresentano con tre vettori (v. fig. 3) l'impulso del fotone incidente (vettore AO, di lunghezza ), quello del fotone diffuso (vettore OB
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e si osserva che il primo vettore deve essere la risultante degli altri due, si ha subito, dal triangolo OBC, per il teorema di Carnot,
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ad N), ovvero come un vettore nello stesso spazio, chiamando O l'origine degli assi (1) In tutto questo capitolo si tratterà solo di vettori uscenti
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(1) In tutto questo capitolo si tratterà solo di vettori uscenti dall'origine: perciò ad ogni punto corrisponde un vettore, e viceversa.
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Ai vettori dello spazio funzionale si trasportano immediatamente le consuete definizioni di somma e differenza, nonchè di prodotto di un vettore per
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Possiamo dunque dire che: assegnare un vettore nello spazio a N dimensioni, significa far corrispondere ad ogni intero r (da 1 ad N) un numero (reale
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infinità (continua) di assi coordinati, corrispondenti ciascuno a un valore di x. Assegnare un vettore f in questo spazio, significa far corrispondere
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Proiezione del vettore f sul vettore g è il numero
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Alla definizione (3) del modulo di un vettore f o norma di una funzione f si può ora anche dare la forma seguente: essa è la radice quadrata di f x f.
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tra un vettore V e le sue componenti .
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Riferendosi agli assi la lunghezza del vettore f può essere calcolata mediante la formula
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evidentemente gli stessi coefficienti : perciò è opportuno considerare due funzioni siffatte come rappresentate dallo stesso vettore (o punto) dello spazio
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cosicchè basta saper applicare l'o. l. ai versori fondamentali per saperlo applicare ad una f qualunque. Ora, il vettore sarà individuato dalle sue
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È facile dimostrare che, se è un o. l. che opera tra vettori dello spazio hilbertiano, le componenti del vettore (che indicheremo con F) sono
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Difatti, detti al solito i versori degli assi (autofunzioni di un'equazione differenziale) ogni vettore f si può scrivere nella forma
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Gli elementi di questa matrice si possono calcolare, osservando che rappresenta la componente m-esima del vettore e quindi (v. form. (8)):
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Le matrici così introdotte non si considerano come rappresentanti di operatori, poichè non servono a passare da un vettore a un altro, ma invece
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Infatti, dalla (49) si ha, ponendo al posto di g (vettore arbitrario) ,
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Le direzioni di questi vettori si chiamano assi principali dell'o. l. , e qualunque vettore che giaccia lungo uno di questi assi viene dall'operatore
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Mediante questa matrice, si passa dalle componenti del vettore f alle componenti rispetto ai nuovi assi dello stesso vettore, mediante la formula
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e, mediante questa matrice continua, si ottengono le componenti del vettore F da quelle di F con la formula, analoga alla (22),
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Quando poi il sistema non è in uno stato stazionario, cioè la ha la forma generale , ossia il vettore non è diretto secondo uno degli assi principali
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(1) Per semplicità useremo la stessa lettera per indicare una funzione e il vettore corrispondente nello spazio hilbertiano (anzichè usare per
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Il vettore , considerato come funzione del tempo, caratterizza lo «stato» del sistema e verrà chiamato nel seguito «vettore di stato».
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godono la proprietà che: la proiezione del vettore di stato sull'asse principale resimo fornisce (supposto che non sia
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Supponiamo che la misura di una osservabile G abbia fornito il risultato Gr: se indichiamo con il vettore di stato immediatamente prima della
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(2) La ragione di questo nome si comprende ora immediatamente osservando che per uno di tali stati il vettore ha la forma , e quindi conserva
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(1) Si noti che, determinato il vettore nell'istante immediatamente successivo all'osservazione, l'ulteriore evoluzione di col tempo resta definita
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Supponiamo ora invece che sia un operatore degenere (o incompleto). Allora l'osservazione di A porta il vettore di stato nella direzione dell'asse Ar
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è la proiezione di sul vettore , si ha, per il principio generale della meccanica quantistica, , e quindi
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Se l'insieme è un miscuglio, lo si decomporrà in insiemi parziali, in ciascuno dei quali lo stato dei sistemi è rappresentato da un vettore , si
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formule che coincidono con quelle del cap. I, p. II, che definiscono il centro d'un pacchetto d'onde e il suo vettore di propagazione medio.
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della (84), e indicando con Aj la componente del potenziale vettore corrispondente alla coordinata ):
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osservazioni al tempo 0 definiscono la posizione iniziale del vettore di stato , la (144) definisce il modo con cui esso si evolve nel tempo e quindi permette
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(1) Precisamente, ciò avviene per tutte quelle osservabili il cui operatore ha un asse principale nella direzione del vettore di stato all'istante .
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Queste formule, introducendo il vettore I di componenti
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Il potenziale vettore, da cui deriva il campo magnetico, si ottiene dalla densità di corrente j con la nota formula dell'elettromagnetismo
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campo magnetico il cui potenziale vettore è dato da
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Accademia della crusca
